문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 티호노프 정리 (문단 편집) == 본 정리 == > 임의의 개수의 컴팩트한 집합들 [math(X_\alpha)][* 여기서 [math(\alpha)]는 인덱스 집합(index set) [math(J)]의 원소이다.]들에 대해 이들의 곱공간 [math(\prod_{\alpha \in J} X_\alpha)]도 컴팩트하다. '''증명''' [math(X)]의 닫힌 부분집합들의 집합족 [math(\mathcal{A})]으로서 유한교집합성질을 만족하는 것을 임의로 고르고, [math(\bigcap \mathcal{A})]가 공집합이 아니라는 걸 증명하자. 보조정리 #1대로 집합족 [math(\mathcal{D})]를 만들자. [math(\mathcal{A} \subset \{\overline{D} : D \in \mathcal{D}\})]이므로, [math(\bigcap \{\overline{D} : D \in \mathcal{D}\})]이 공집합이 아니라는 것은 충분조건이다. [math(\mathcal{D})]는 유한교집합성질을 만족하므로, 각 [math(\alpha \in J)]에 대해 [math(\{\overline{\pi_\alpha[D]} : D \in \mathcal{D}\})][* [math(\pi)]는 물론 투영사상(projection).] 또한 그러하다. [math(X_\alpha)]는 컴팩트하므로, [math(\bigcap \{\overline{\pi_\alpha[D]} : D \in \mathcal{D}\})]에서 원소 [math(x_\alpha)]를 뽑을 수 있다. 이제 [math(x_\alpha)]를 각 [math(\alpha \in J)]에 대해 늘어놓아 [math(X)]의 원소 [math(\mathbf{x})]를 만들자. 모든 [math(D \in \mathcal{D})]에 대해 [math(\mathbf{x} \in \overline{D})]임을 증명하면 [math(\bigcap \{\overline{D} : D \in \mathcal{D}\})]이 공집합이 아니라는 증명이 끝날 것이다. 임의의 [math(\beta \in J)]와 [math(x_\beta)]의 임의의 근방(neighborhood) [math(U_\beta)]에 대해 [math(\pi_\beta^{-1}[U_\beta])]는 [math(\prod_{\alpha \in J} X_\alpha)]의 준기저(subbasis)의 원소이다. [math(x_\beta \in \overline{\pi_\beta[D]})]이므로, [math(D)]의 적절한 원소 [math(\mathbf{y})]가 존재하여 [math(\pi_\beta(\mathbf{y}) \in U_\beta \cap \pi_\beta[D])]이다. 즉 [math(\mathbf{y} \in \pi_\beta^{-1}[U_\beta] \cap D)]이고, 따라서 [math(\pi_\beta^{-1}[U_\beta] \cap D \neq \emptyset)]이다. 이제 보조정리 #2(b)를 적용하면 [math(\pi_\beta^{-1}[U_\beta] \in \mathcal{D})]이라는 결론이 나오고, 보조정리 #2(a)를 적용하면 [math(\mathbf{x})]의 근방 [math(V)]로서 준기저의 원소인 것뿐만 아니라 기저의 원소인 것 또한 [math(\mathcal{D})]의 원소라는 결론이 나온다. [math(\mathcal{D})]는 유한교집합성질을 만족하므로, [math(\mathcal{D})]의 임의의 원소 [math(D)]에 대해 [math(D \cap V \neq \emptyset)]이고, 즉 [math(\mathbf{x} \in \overline{D})]이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기